- LG a
- LG b
- LG c
Cho đường thẳng \[\Delta _m\]: \[[m-2]x+[m-1]y+2m-1=0\] và hai điểm \[A[2 ; 3], B[1 ; 0].\]
LG a
Chứng minh rằng \[\Delta_m \]luôn đi qua một điểm cố định với mọi \[m;\]
Lời giải chi tiết:
\[{\Delta _m}\] luôn đi qua điểm cố định \[M[x_0; y_0]\] với mọi \[m\] khi và chỉ khi
\[\begin{array}{l}[m - 2]{x_0} + [m - 1]{y_0} + 2m - 1 = 0 \,\,\,\,\,\forall m\\ \Leftrightarrow [{x_0} + {y_0} + 2]m - 2{x_0} - {y_0} - 1 = 0 \,\,\,\,\, \forall m\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} + {y_0} + 2 = 0\\ - 2{x_0} - {y_0} - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{y_0} = - 3.\end{array} \right.\end{array}\]
Vậy \[{\Delta _m}\] luôn đi qua điểm cố định \[M[1 ; -3]\] với mọi \[m\].
LG b
Xác định \[m\] để \[\Delta_m \]có ít nhất một điểm chung với đoạn thẳng \[AB;\]
Lời giải chi tiết:
Đặt
\[f[x,y] = [m - 2]x + [m - 1]y + 2m - 1 = 0\]
\[{\Delta _m}\] có ít nhất một điểm chung với đoạn \[AB\] \[ \Leftrightarrow f[{x_A} , {y_A}].f[{x_B} , {y_B}] \le 0\]
\[ \Leftrightarrow [7m - 8][3m - 3] \le 0 \]
\[ \Leftrightarrow 1 \le m \le \dfrac{8}{7}\].
LG c
Tìm \[m\] để khoảng cách từ điểm \[A\] đến đường thẳng \[\Delta_m \]là lớn nhất.
Lời giải chi tiết:
[h.103].
Dựng \[AH \bot {\Delta _m}\]. Ta có \[AH \le AM\] với mọi \[m\] [\[M\] là điểm thuộc \[{\Delta _m}\] với mọi \[m\] đã nói ở câu a]. Vậy \[AH\] lớn nhất bằng \[AM\] khi và chỉ khi \[H\] trùng với \[M\] hay \[AM \bot {\Delta _m}\].
Ta có : \[\overrightarrow {AM} = [ - 1 ; - 6], {\Delta _m}\] có vec tơ chỉ phương \[\overrightarrow u [1 - m ; m - 2]\].
\[AM \bot {D_m} \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow u = 0 \]
\[ \Leftrightarrow - 1[1 - m] - 6[m - 2] = 0 \]
\[ \Leftrightarrow m = \dfrac{{11}}{5}\].
Vậy với \[m = \dfrac{{11}}{5}\] thì khoảng cách từ \[A\] đến \[{\Delta _m}\] là lớn nhất.