Đề bài
Lập phương trình các đường thẳng chứa bốn cạnh của hình vuông \[ABCD\] biết đỉnh \[A[-1 ; 2]\] và phương trình của một đường chéo là \[\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = - 2t\end{array} \right.\].
Lời giải chi tiết
[h.99].
\[A \in \Delta : \left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = - 2t\end{array} \right.\].
Vậy \[B, D \in \Delta \]. \[\Delta \] có vec tơ chỉ phương \[\overrightarrow u [2 ; - 2]\] nên phương trình đường chéo \[AC\] là
\[2[x + 1] - 2[y - 2] = 0\]
\[\Leftrightarrow x - y + 3 = 0\].
Tọa độ giao điểm \[I\] của \[AC\] và \[BD\] ứng với nghiệm t của phương trình:
\[ - 1 + 2t + 2t + 3 = 0 \Leftrightarrow t = - \dfrac{1}{2}\].
Vậy \[I=[-2 ; 1]\]. Vì \[I\] là trung điểm của \[AC\] nên \[C=[-3 ; 0]\].
\[ABCD\] là hình vuông nên \[ID=IA=IB\]. Do \[B \in \Delta \] nên \[B = [ - 1 + 2t ; - 2t]\].
\[\begin{array}{l}I{B^2} = I{A^2} \\\Leftrightarrow {[ - 1 + 2t + 2]^2} + {[ - 2t - 1]^2}\\ = {[ - 1 + 2]^2} + {[2 - 1]^2}\\\Leftrightarrow {[2t + 1]^2} = 1\end{array}\]
\[ \Leftrightarrow t = 0\] hoặc \[t = - 1\].
Suy ra \[B=[-1 ; 0]\] hoặc \[B=[-3 ; 2].\]
Nếu \[B=[-1 ; 0]\] thì \[D=[-3 ; 2],\] nếu \[B=[-3 ; 2]\] thì \[D=[-1 ; 0].\]
Đến đây, biết tọa độ bốn đỉnh của hình vuông \[ABCD\], ta sẽ dễ dàng viết được phương trình bốn cạnh của hình vuông là
\[x + 1 = 0 ; y = 0 ; \] \[ x + 3 = 0 ; y - 2 = 0 .\]