Đề bài
Cho tứ diện \[OABC\] có ba cạnh \[OA, OB, OC\] đôi một vuông góc. Gọi \[H\] là chân đường vuông góc hạ từ \[O\] tới mặt phẳng \[[ABC]\]. Chứng minh rằng:
a] H là trực tâm của tam giác \[ABC\];
b]\[\dfrac{1}{OH^{2}}=\dfrac{1}{OA^{2}}+\dfrac{1}{OB^{2}}+\dfrac{1}{OC^{2}}.\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Chứng minh\[AB \bot CH;\,\,BC \bot AH\].
b] Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Lời giải chi tiết
a] \[H\] là hình chiếu của \[O\] trên mp \[[ABC]\] nên \[OH [ABC] \Rightarrow OH BC\].
Mặt khác: \[OA OB\], \[OA OC\]
\[\Rightarrow OA [OBC] \RightarrowOA BC\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot OH\\
BC \bot OA\\
OA \cap OH = O
\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow BC \bot \left[ {OAH} \right]\]
Mà \[AH \subset \left[ {OAH} \right]\] \[\RightarrowBC AH\] [1]
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}OB \bot OA\\OB \bot OC\end{array} \right. \Rightarrow OB \bot \left[ {OAC} \right]\]
Mà \[AC \subset \left[ {OAC} \right] \Rightarrow OB \bot AC\]
\[OH \bot \left[ {ABC} \right] \Rightarrow OH \bot AC\]
Do đó \[\left\{ \begin{array}{l}OB \bot AC\\OH \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left[ {OBH} \right]\] \[ \Rightarrow AC \bot BH\] [2]
Từ [1] và [2] ta có tam giác \[ABC\] có
\[\left\{ \begin{array}{l}
AH \bot BC\\
BH \bot AC\\
AH \cap BH = H
\end{array} \right.\]
\[\RightarrowH\] là trực tâm của tam giác \[ABC\].
b] Trong mặt phẳng \[[ABC]\] gọi \[E = AH BC\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
OH \bot \left[ {ABC} \right]\\
AE \subset \left[ {ABC} \right]
\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot AE\]
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}OA \bot \left[ {OBC} \right]\\OE \subset \left[ {OBC} \right]\end{array} \right. \Rightarrow OA \bot OE\] \[ \Rightarrow \Delta OAE\] vuông tại \[O\] có đường cao \[OH\]
\[ \Rightarrow \dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{E^2}}}\] [hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông \[OAE\]]
Lại có: \[\left\{ \begin{array}{l}BC \bot \left[ {OAH} \right]\\OE \subset \left[ {OAH} \right]\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot OE\]
Mà \[OB \bot OC\] nên \[\Delta OBC\] vuông tại \[O\] có \[OE\] là đường cao.
\[ \Rightarrow \dfrac{1}{{O{E^2}}} = \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}}\]
Vậy \[\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{E^2}}}\]\[ = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}}\] [đpcm].
Nhận xét: Biểu thức này là mở rộng của công thức tính đường cao thuộc cạnh huyền của tam giác vuông:\[\dfrac{1}{h^{2}}=\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}} .\]