Đề bài
Cho hai đường tròn bằng nhau \[[O]\] và \[[O']\] cắt nhau tại hai điểm \[A\] và \[B\]. Kẻ các đường kính \[AOC, AO'D\]. Gọi \[E\] là giao điểm thứ hai của \[AC\] với đường tròn \[[O']\].
a] So sánh các cung nhỏ \[\overparen{BC}, \overparen{BD}\].
b] Chứng minh rằng \[B\] là điểm chính giữa của cung \[\overparen{EBD}\] [ tức điểm \[B\] chia cung \[\overparen{EBD}\] thành hai cung bằng nhau: \[\overparen{BE}\] = \[\overparen{BD}\] ].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
* Chứng minh hai tam giác bằng nhau hoặc tam giác cân để suy ra hai dây bằng nhau.
Từ đó sử dụng định lý: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:
+] Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.
+] Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.
Lời giải chi tiết
a] Vì \[\left[ O \right]\] và \[\left[ {O'} \right]\] cắt nhau tại hai điểm \[A\] và \[B\] nên \[OO' \bot AB\] [định lý]
Xét tam giác \[ADC\] có \[OO'\] là đường trung bình [vì \[O\] là trung điểm \[AC,O'\] là trung điểm \[AD\]] nên \[OO'//CD\] , suy ra \[AB \bot CD\] [quan hệ từ vuông góc đến song song].
Xét tam giác \[ADC\] có \[AC = AD\] [vì hai đường tròn \[\left[ O \right]\] và \[\left[ {O'} \right]\] có cùng bán kính] nên \[\Delta ACD\] cân tại \[A\] có \[AB\] là đường cao nên \[AB\] cũng là đường trung tuyến, suy ra \[BC = BD\] hay cung BC = cung BD [vì \[\left[ O \right]\] và \[\left[ {O'} \right]\] là hai đường tròn bằng nhau].
b] Xét đường tròn \[\left[ {O'} \right]\] có \[A,E,D\] cùng thuộc đường tròn và \[AD\] là đường kính nên tam giác \[AED\] vuông tại \[E \Rightarrow DE \bot AC \Rightarrow \widehat {DEC} = 90^\circ .\]
Xét tam giác \[DEC\] vuông tại \[E\] có \[B\] là trung điểm \[DC\left[ {cmt} \right] \Rightarrow EB = \dfrac{{DC}}{2} = BD = EB\]
Suy ra cung EB=cung BD [định lý], do đó \[B\] là điểm chính giữa cung \[ED.\].
loigiaihay.com