Đề bài
Cho \[n\] điểm \[{A_1}[{x_1} ; {y_1}], {A_2}[{x_2} ; {y_2}], ..., {A_n}[{x_n} ; {y_n}]\] và \[n+1\] số : \[k_1, k_2,,k_n,\] \[k\] thỏa mãn \[{k_1} + {k_2} + ... + {k_n} \ne 0\]. Tìm tập hợp các điểm \[M\] sao cho
\[{k_1}MA_1^2 + {k_2}MA_2^2 + ... + {k_n}MA_n^2 = k\].
Lời giải chi tiết
Đặt \[M=[x, y]\], ta có \[{k_1}MA_1^2 + {k_2}MA_2^2 + ... + {k_n}MA_n^2 = k\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow [{k_1}{[x - {x_1}]^2} + {k_2}{[x - {x_2}]^2}\\ + ... + {k_n}{[x - {x_n}]^2}] + [{k_1}{[y - {y_1}]^2} \\+ {k_2}{[y - {y_2}]^2} + ... + {k_n}{[y - {y_n}]^2}]\\ \Leftrightarrow [{k_1} + {k_2} + ... + {k_n}][{x^2} + {y^2}] \\- 2[{k_1}{x_1} + {k_2}{x_2} + ... + {k_n}{x_n}]x\\ - 2[{k_1}{y_1} + {k_2}{y_2} + ... + {k_n}{y_n}]y\\ + {k_1}[x_1^2 + y_1^2] + {k_2}[x_2^2 + y_2^2] \\+ ... + {k_n}[x_n^2 + y_n^2] = k.\end{array}\]
Đặt
\[\begin{array}{l}a = \dfrac{{{k_1}{x_1} + {k_2}{x_2} + ... + {k_n}{x_n}}}{{{k_1} + {k_2} + ... + {k_n}}} ;\\ b = \dfrac{{{k_1}{y_1} + {k_2}{y_2} + ... + {k_n}{y_n}}}{{{k_1} + {k_2} + ... + {k_n}}} ;\\c = \dfrac{{{k_1}[x_1^2 + y_1^2] + {k_2}[x_2^2 + y_2^2] + ... + {k_n}[x_n^2 + y_n^2] - k}}{{{k_1} + {k_2} + ... + {k_n}}}.\end{array}\]
Khi đó
\[[1] \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0 \]
\[\Leftrightarrow {[x - a]^2} + {[y - b]^2} = {a^2} + {b^2} - c.\]
- Nếu \[{a^2} + {b^2} - c > 0\] thì tập hợp các điểm \[M\] là đường tròn tâm \[I[a, b]\], bán kính \[R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \].
- Nếu \[{a^2} + {b^2} - c = 0\] thì tập hợp các điểm \[M\] là điểm \[I[a, b].\]
- Nếu \[{a^2} + {b^2} - c < 0\] thì tập các điểm \[M\] là tập rỗng.