Đề bài
Cho hình lập phương ABCD.ABCD. Gọi M và N lần lượt là các điểm thuộc AD và DB sao cho \[\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {M{\rm{D}}'} ,\overrightarrow {N{\rm{D}}} = k\overrightarrow {NB} \left[ {k \ne 0,k \ne 1} \right]\].
a] Chứng minh rằng MN luôn song song với mp [ABC].
b] Khi đường thẳng MN song song với đường thẳng AC, chứng tỏ rằng MN vuông góc với AD và DB
Lời giải chi tiết
a] Đặt \[\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow a ,\,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ,\,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow c \].
Khi đó, ta có:
\[\overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow b .\overrightarrow c = \overrightarrow c .\overrightarrow a = 0\].
và \[{\overrightarrow a ^2} = {\overrightarrow b ^2} = {\overrightarrow c ^2}\].
Vì \[\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {M{\rm{D}}'} \] nên \[\overrightarrow {MA} = k\left[ {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {A{\rm{D}}'} } \right]\].
Vậy \[\overrightarrow {AM} = {k \over {k - 1}}\left[ {\overrightarrow a + \overrightarrow c } \right].\]
Tương tự như trên, ta có:
\[\overrightarrow {AN} = {{\overrightarrow {A{\rm{D}}} - k\overrightarrow {AB} } \over {1 - k}} = - {k \over {1 - k}}\overrightarrow b + {1 \over {1 - k}}\overrightarrow c \].
Từ đó: \[\eqalign{ & \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} \cr & = {{1 + k} \over {1 - k}}\overrightarrow c + {k \over {1 - k}}\left[ {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right] \cr} \]
hay \[\overrightarrow {MN} = {{1 + k} \over {1 - k}}\overrightarrow {BC} + {k \over {1 - k}}\overrightarrow {BA'} \].
Như vậy ba vectơ \[\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BA'} \] đồng phẳng.
Mặt khác AD, DB cắt mp[ABCD]; các điểm M, N lần lượt thuộc AD, DB với k 0, k 1 nên MN không thuộc mp[ABC]. Vậy MN song song với mp[ABC].
b] Ta có \[\overrightarrow {A'C} = - \overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c \]; AC, AD chéo nhau; AC, BD chéo nhau mà \[M \in A{\rm{D}}',N \in DB\]. Do đó, đường thẳng MN song song với đường thẳng AC khi và chỉ khi \[\overrightarrow {MN} = m\overrightarrow {A'C} \] , tức là
\[{k \over {1 - k}}\overrightarrow a - {k \over {1 - k}}\overrightarrow b + {{1 + k} \over {1 - k}}\overrightarrow c = - m\overrightarrow a + m\overrightarrow b + m\overrightarrow c \]
Do \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \] là ba vectơ không đồng phẳng nên đẳng thức trên xảy ra khi bà chỉ khi
\[\left\{ \matrix{ {k \over {1 - k}} = - m \hfill \cr - {k \over {1 - k}} = m \hfill \cr {{1 + k} \over {1 - k}} = m \hfill \cr} \right.\]
Suy ra \[ - k = 1 + k \Leftrightarrow k = - {1 \over 2}\]
Vậy khi \[k = - {1 \over 2}\] thì MN song song với AC.
Khi đó \[\overrightarrow {MN} = - {1 \over 3}\left[ {\overrightarrow a - \overrightarrow b - \overrightarrow c } \right]\]
Mặt khác \[\overrightarrow {A{\rm{D}}'} = \overrightarrow a + \overrightarrow c ,\overrightarrow {DB} = \overrightarrow b - \overrightarrow c \]
Vậy
\[\eqalign{ & \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {A{\rm{D}}'} = - {1 \over 3}\left[ {{{\overrightarrow a }^2} - {{\overrightarrow c }^2}} \right] = 0 \cr & \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {DB} = - {1 \over 3}\left[ { - {{\overrightarrow b }^2} + {{\overrightarrow c }^2}} \right] = 0 \cr} \]
Điều này khẳng định MN vuông góc với AD và DB.