- LG a
- LG b
- LG c
Cho elip \[[E]\] có phương trình \[ \dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1\].
LG a
Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh; tính tâm sai và vẽ elip \[[E]\].
Lời giải chi tiết:
\[{a^2} = 9 \Rightarrow a = 3 ,\] \[ {b^2} = 4 \Rightarrow b = 2 ,\] \[ {c^2} = {a^2} - {b^2} = 5 \Rightarrow c = \sqrt 5 \].
Các tiêu điểm : \[{F_1}[ - \sqrt 5 ; 0] ,{F_2}[\sqrt 5 ; 0] \].
Các đỉnh: \[[ \pm 3 ; 0] , [0 ; \pm 2]\].
Tâm sai : \[e = \dfrac{{\sqrt 5 }}{3}\].
Elip được vẽ như hình 112.
LG b
Xác định m để đường thẳng \[d: y=x+m\] và \[[E]\] có điểm chung
Lời giải chi tiết:
Hoành độ giao điểm của \[d\] và \[[E]\] là nghiệm của phương trình:
\[ \dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{{[x + m]}^2}}}{4} = 1\]
\[ \Leftrightarrow 13{x^2} + 18mx + 9{m^2} - 36 = 0 \,\,\,\,\,\,\, [1]\]
\[D\] và \[[E]\] có điểm chung khi và chỉ khi [1] có nghiệm \[ \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow 81{m^2} - 13[9{m^2} - 36] \ge 0 \]
\[ \Leftrightarrow {m^2} \le 13 \Leftrightarrow - \sqrt {13} \le m \le \sqrt {13} \].
Vậy với \[ - \sqrt {13} \le m \le \sqrt {13} \] thì \[d\] và \[[E]\] có điểm chung.
LG c
Viết phương trình đường thẳng \[\Delta \] đi qua \[M[1 ; 1]\] và cắt \[[E]\] tại hai điểm \[A, B\] sao cho \[M\] là trung điểm của đoạn thẳng \[AB\].
Lời giải chi tiết:
[h.112]. Đường thẳng \[\Delta \] đi qua M, với vec tơ chỉ phương \[\overrightarrow u [a ; b]\] có dạng:
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + at\\y = 1 + bt\end{array} \right. \,\,\,\,\,[{a^2} + {b^2} \ne 0]\]
\[A, B \in \Delta \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 1 + a{t_1}\\{y_A} = 1 + b{t_1}\end{array} \right.\]và \[\left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 1 + a{t_2}\\{y_B} = 1 + b{t_2}\end{array} \right.\].
\[M\] là trung điểm của \[AB\] khi và chỉ khi \[\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 2{x_M}\\{y_A} + {y_B} = 2{y_M}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a[{t_1} + {t_2}] = 0\\b[{t_1} + {t_2}] = 0\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow {t_1} + {t_2} = 0 [1] \] [do \[{a^2} + {b^2} \ne 0\]].
\[A, B \in [E]\] suy ra \[{t_1}, {t_2}\] là nghiệm của phương trình:
\[\begin{array}{l}4{[at + 1]^2} + 9{[bt + 1]^2} = 36 \\ \Leftrightarrow [4 {a^2} + 9{b^2}]{t^2} + [8a + 18b]t - 23 = 0.\\{t_1} + {t_2} = 0 \\ \Rightarrow 8a + 18b = 0 \\ \Leftrightarrow 4a + 9b = 0.\end{array}\]
Chọn \[a=9, b=-4,\] ta được phương trình của \[\Delta : \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 9t\\y = 1 - 4t\end{array} \right.\] hay \[4x + 9y - 13 = 0\].