Đề bài
Một tam giác vuông có cạnh huyền là \[5\] và đường cao ứng với cạnh huyền là \[2\]. Hãy tính cạnh nhỏ nhất của tam giác vuông này.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xét tam giác \[ABC\] có \[\widehat {BAC} = {90^0},\]\[AH \bot BC,BC = 5,AH = 2\] và \[BH < CH\]
Suy luận để có \[BH + CH = 5\]
Sử dụng hệ thức: \[BH.CH = A{H^2}\]
Từ đó tính được \[BH,\] suy ra cạnh \[AB\] và lập luận để có \[AB\] là cạnh nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết
Giả sử tam giác \[ABC\] có \[\widehat {BAC} = {90^0},\]\[AH \bot BC,BC = 5,AH = 2\] và \[BH < CH\]
Ta có: \[BH + CH =BC= 5\] nên \[BH=5-CH\] [1]
Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và các hình chiếu cạnh góc vuông trong tam giác vuông, ta có:
\[BH.CH = A{H^2} = {2^2} = 4\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra:
\[BH[5 - BH] = 4\]
\[\Leftrightarrow B{H^2} - 5BH + 4 = 0\]
\[\Leftrightarrow B{H^2} - 4BH -BH+ 4 = 0\]
\[\Leftrightarrow BH [BH-4 ]-[BH-4] = 0\]
\[\Leftrightarrow [BH-1][BH-4]=0\]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
BH = 1 \Rightarrow CH = 4\\
BH = 4 \Rightarrow CH = 1
\end{array} \right.\]
Do\[BH < CH\] nên \[BH = 1\]và \[CH = 4\]
Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:
\[A{B^2} = BH.BC \]\[= 1.5 = 5\]
Suy ra: \[AB = \sqrt 5 .\]
Vì \[BH