Đề bài
Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AD, điểm N thuộc đoạn thẳng BD sao cho
\[AM = DN = x\left[ {0 < x < a\sqrt 2 } \right]\]
a] Tìm x để đoạn thẳng MN có độ dài ngắn nhất.
b] Khi MN ngắn nhất, hãy chứng tỏ MN là đường vuông góc chung của AD và DB, đồng thời MN // AC.
Lời giải chi tiết
a] Kẻ \[MH \bot A{\rm{D}}\] thì \[MH \bot \left[ {ABC{\rm{D}}} \right]\] và \[MH = {{x\sqrt 2 } \over 2} = AH\].
Kẻ \[NK \bot A{\rm{D}}\] thì \[NK = {{x\sqrt 2 } \over 2} = DK\].
Vậy \[KH = \left| {a - x\sqrt 2 } \right|\].
Ta có:
\[\eqalign{ & M{N^2} = M{H^2} + H{K^2} + K{N^2} \cr & = 3{{\rm{x}}^2} - 2a\sqrt 2 x + ah2 \cr} \]
Từ đó MN nhỏ nhất khi và chỉ khi \[x = {{a\sqrt 2 } \over 3}\].
b] Khi \[x = {{a\sqrt 2 } \over 3}\] thì
\[\eqalign{ & M{N^2} = {{3{{\rm{a}}^2}} \over 9} = {{{a^2}} \over 3}; \cr & A{M^2} = {{2{{\rm{a}}^2}} \over 9}; \cr & A{N^2} = A{{\rm{D}}^2} + D{N^2} - 2{\rm{AD}}{\rm{.DNcos4}}{{\rm{5}}^0} = {{5{a^2}} \over 9} \cr} \]
Từ đó \[A{N^2} = A{M^2} + M{N^2}\] hay \[MN \bot A{\rm{D}}'\].
Chứng minh tương tự như trên, ta cũng có \[MN \bot B{\rm{D}}\].
Vậy MN là đường vuông góc chung của AD và BD.
Khi \[DN = {{a\sqrt 2 } \over 3}\] thì NB = 2ND.
Gọi I là trung điểm của AD thì ta có I, N, C thẳng hàng
Tương tự ta cũng có các điểm I, M, A thẳng hàng.
Xét tam giác AIC ta có:
\[{{IN} \over {NC}} = {{IM} \over {MA'}} = {1 \over 2}\]
Vậy MN // AC.