- LG a
- LG b
Cho các mệnh đề chứa biến \[P[n]\] : \[n\] chia hết cho 5 ; \[Q[n]\] : \[{n^2}\] chia hết cho 5 và \[R[n]\] : \[{n^2} + 1\] và\[{n^2} - 1\]đều không chia hết cho 5
Sử dụng thuật ngữ điều kiện cần và đủ, phát biểu và chứng minh các định lí dưới đây:
LG a
\[\forall n \in N,P\left[ n \right] \Leftrightarrow Q\left[ n \right]\]
Lời giải chi tiết:
Phát biểu như sau : Điều kiện cần và đủ để số tự nhiên \[n\] chia hết cho 5 là \[{n^2}\] chia hết cho 5
Chứng minh :
Nếu \[n = 5k\left[ {k \in N} \right]\]thì \[{n^2} = 25{k^2}\] chia hết cho 5.
Ngược lại, giả sử \[n = 5k + r\] với \[r = 0, 1, 2, 3, 4\]. Khi đó \[{n^2} = 25{k^2} + 10kr + {r^2}\] chia hết cho 5 nên \[{r^2}\] phải chia hết cho 5.
Thử vào với \[r = 0, 1, 2, 3, 4\], ta thấy chỉ có với \[r = 0\] thì \[{r^2}\] mới chia hết cho 5.
Do đó \[n = 5k\] tức là n chia hết cho 5.
LG b
\[\forall n \in N,P\left[ n \right] \Leftrightarrow Q\left[ n \right]\]
Lời giải chi tiết:
Phát biểu như sau : Điều kiện cần và đủ để số tự nhiên n chia hết cho 5 là cả \[{n^2} - 1\] và \[{n^2} + 1\] đều không chia hết cho 5.
Chứng minh.
Nếu n chia hết cho 5 thì \[{n^2} - 1\] chia cho 5 dư 4 và \[{n^2} + 1\] chia 5 dư 1.
Đảo lại, giả sử \[{n^2} - 1\] và \[{n^2} + 1\] đều không chia hết cho 5.
Gọi \[r\] là số dư khi chia \[n\] cho 5 [\[r = 0, 1, 2, 3, 4\]].
Ta có \[n = 5k + r\left[ {k \in N} \right]\].
Vì \[{n^2} = 25{k^2} + 10kr + {r^2}\] nên suy ra cả \[{r^2} - 1\] và \[{r^2} + 1\] đều không chia hết cho 5.
Với \[r = 1\] thì \[{r^2} - 1 = 0\] chia hết cho 5.
Với \[r = 2\] thì \[{r^2} + 1 = 5\] chia hết cho 5.
Với \[r = 3\] thì \[{r^2} + 1 = 10\] chia hết cho 5.
Với \[r = 4\] thì \[{r^2} - 1 = 15\] chia hết cho 5.
Vậy chỉ có thể \[r = 0\] tức là \[n = 5k\] hay \[n\] chia hết cho 5.