Cho các mệnh đề chứa biến \(P(n)\) : \(n\) chia hết cho ; \(Q(n)\) : \({n^}\) chia hết cho và \(R(n)\) : \({n^} + \) và\({n^} - \)đều không chia hết cho - bài 1.20 trang 10 sbt đại số 10 nâng cao

Cho các mệnh đề chứa biến \[P[n]\] : \[n\] chia hết cho 5 ; \[Q[n]\] : \[{n^2}\] chia hết cho 5 và \[R[n]\] : \[{n^2} + 1\] và\[{n^2} - 1\]đều không chia hết cho 5
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
  • LG a
  • LG b

Cho các mệnh đề chứa biến \[P[n]\] : \[n\] chia hết cho 5 ; \[Q[n]\] : \[{n^2}\] chia hết cho 5 và \[R[n]\] : \[{n^2} + 1\] và\[{n^2} - 1\]đều không chia hết cho 5

Sử dụng thuật ngữ điều kiện cần và đủ, phát biểu và chứng minh các định lí dưới đây:

LG a

\[\forall n \in N,P\left[ n \right] \Leftrightarrow Q\left[ n \right]\]

Lời giải chi tiết:

Phát biểu như sau : Điều kiện cần và đủ để số tự nhiên \[n\] chia hết cho 5 là \[{n^2}\] chia hết cho 5

Chứng minh :

Nếu \[n = 5k\left[ {k \in N} \right]\]thì \[{n^2} = 25{k^2}\] chia hết cho 5.

Ngược lại, giả sử \[n = 5k + r\] với \[r = 0, 1, 2, 3, 4\]. Khi đó \[{n^2} = 25{k^2} + 10kr + {r^2}\] chia hết cho 5 nên \[{r^2}\] phải chia hết cho 5.

Thử vào với \[r = 0, 1, 2, 3, 4\], ta thấy chỉ có với \[r = 0\] thì \[{r^2}\] mới chia hết cho 5.

Do đó \[n = 5k\] tức là n chia hết cho 5.

LG b

\[\forall n \in N,P\left[ n \right] \Leftrightarrow Q\left[ n \right]\]

Lời giải chi tiết:

Phát biểu như sau : Điều kiện cần và đủ để số tự nhiên n chia hết cho 5 là cả \[{n^2} - 1\] và \[{n^2} + 1\] đều không chia hết cho 5.

Chứng minh.

Nếu n chia hết cho 5 thì \[{n^2} - 1\] chia cho 5 dư 4 và \[{n^2} + 1\] chia 5 dư 1.

Đảo lại, giả sử \[{n^2} - 1\] và \[{n^2} + 1\] đều không chia hết cho 5.

Gọi \[r\] là số dư khi chia \[n\] cho 5 [\[r = 0, 1, 2, 3, 4\]].

Ta có \[n = 5k + r\left[ {k \in N} \right]\].

Vì \[{n^2} = 25{k^2} + 10kr + {r^2}\] nên suy ra cả \[{r^2} - 1\] và \[{r^2} + 1\] đều không chia hết cho 5.

Với \[r = 1\] thì \[{r^2} - 1 = 0\] chia hết cho 5.

Với \[r = 2\] thì \[{r^2} + 1 = 5\] chia hết cho 5.

Với \[r = 3\] thì \[{r^2} + 1 = 10\] chia hết cho 5.

Với \[r = 4\] thì \[{r^2} - 1 = 15\] chia hết cho 5.

Vậy chỉ có thể \[r = 0\] tức là \[n = 5k\] hay \[n\] chia hết cho 5.

Video liên quan

Chủ Đề