Chứng minh bằng phản chứng. Giả sử \[\dfrac{{ax + b}}{{cx + d}} = r\] là số hữu tỉ. Khi đó \[ax + b = rd + rcx\]. Vậy \[x\left[ {rc - a} \right] = b - rd\] . Nếu \[rc - a \ne 0\] thì \[x = \dfrac{{b - rd}}{{rc - a}}\] là số hữu tỉ, trái với giả thiết. Vậy \[rc = a\] do đó \[rd = b\]. Nhưng khi đó \[ad - bc = rcd - rcd = 0\]. Điều này trái với giả thiết.
Đề bài
Cho \[x\]là số vô tỉ và \[a, b, c\]là các số hữu tỉ sao cho \[ad - bc \ne 0\]. Chứng minh rằng số \[\dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\] là số vô tỉ.
Lời giải chi tiết
Chứng minh bằng phản chứng. Giả sử \[\dfrac{{ax + b}}{{cx + d}} = r\] là số hữu tỉ. Khi đó \[ax + b = rd + rcx\]. Vậy \[x\left[ {rc - a} \right] = b - rd\] . Nếu \[rc - a \ne 0\] thì \[x = \dfrac{{b - rd}}{{rc - a}}\] là số hữu tỉ, trái với giả thiết. Vậy \[rc = a\] do đó \[rd = b\]. Nhưng khi đó \[ad - bc = rcd - rcd = 0\]. Điều này trái với giả thiết.