Từ đó suy ra \[\left[ {1 + \dfrac{a}{b}} \right] \left[ {1 + \dfrac{b}{c}} \right]\left[ {1 + \dfrac{c}{a}} \right] \ge {2^3}\sqrt {\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{a}}\]
Đề bài
Cho ba số dương a, b, c, chứng minh rằng :
\[\left[ {1 + \dfrac{a}{b}} \right]\left[ {{\rm{a}} + \dfrac{b}{c}} \right]\left[ {1 + \dfrac{c}{a}} \right] \ge 8\]
Lời giải chi tiết
Với \[a > 0, b > 0, c > 0\] thì
\[1 + \dfrac{a}{b} \ge 2\sqrt {\dfrac{a}{b}} \ge 0;\]
\[\,1 + \dfrac{b}{c} \ge 2\sqrt {\dfrac{b}{c}} ;\]
\[\,1 + \dfrac{c}{a} \ge 2\sqrt {\dfrac{c}{a}} \ge 0\]
Từ đó suy ra \[\left[ {1 + \dfrac{a}{b}} \right] \left[ {1 + \dfrac{b}{c}} \right]\left[ {1 + \dfrac{c}{a}} \right] \ge {2^3}\sqrt {\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{a}}\]
\[ = 8\]