- Bài 8.1
- Bài 8.2
- Bài 8.3
- Bài 8.4
Bài 8.1
Cho tam giác cân [không đều]\[ABC\]có\[AB = AC.\]Hai đường trung trực của hai cạnh\[AB, AC\]cắt nhau tại\[O.\]Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng?
\[\left[ A \right]OA > OB\]
\[\left[ B \right]\widehat {AOB} > \widehat {AOC}\]
\[\left[ C \right]AO \bot BC\]
[D]\[O\]cách đều ba cạnh của tam giác\[ABC\]
Phương pháp giải:
Sử dụng:
+]Ba đường trung trực của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.
+] Điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đường thẳng đó.
+]Trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường phân giác ứng với cạnh này.
Lời giải chi tiết:
Vì\[O\]thuộc đường trung trực của cạnh\[AB\]nên \[OA = OB.\]
Vì ba đường trung trực của một tam giác đồng quy nên\[OA\]là đường trung trực của\[BC,\]do đó \[AO \bot BC\].
Vì tam giác\[ABC\]cân tại\[A\] nên đường trung trực\[AO\]đồng thời là đường phân giác của góc\[A,\]
Xét\[AOB\] và \[ AOC,\] có:
+] \[AB=AC\] [gt]
+]\[\widehat {BAO} = \widehat {CAO}\,\,\] [do\[AO\] là đường phân giác của góc\[A]\]
+] Cạnh \[OA\] chung
Do đó\[AOB = AOC [c-g-c],\]suy ra \[\widehat {AOB} = \widehat {AOC}.\]
Từ đó tam giác\[ABC\]cân tại\[A\]nhưng không là tam giác đều nên\[O\]không là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác\[ABC.\]Vậy\[O\]không cách đều ba cạnh của tam giác\[ABC.\]
Vậy chỉ có đáp án C đúng.
Chọn \[\left[ C \right]AO \bot BC\].
Bài 8.2
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A. \] Gọi \[P, Q, R\] lần lượt là trung điểm của ba cạnh \[AB, AC, BC.\] Gọi \[O\] là giao điểm của ba đường phân giác. Khi đó, tâm đường trong ngoại tiếp tam giác \[ABC\] là điểm:
[A] \[O\] [B] \[P;\]
[C] \[Q; \] [D] \[R.\]
Hãy chọn phương án đúng.
Phương pháp giải:
Sử dụng:
+] Điểm cách đều ba đỉnh của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
+] Sử dụng kết quả bài 66 trang 49 SBT toán 7 tập 2: "Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền"
Lời giải chi tiết:
Vì tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có \[R\] là trung điểm cạnh huyền \[BC\] nên\[RA = RB = RC = \dfrac{{BC}}{2}\] [theo kết quả bài 66 trang 49 SBT toán 7 tập 2]
Hay \[R\] cách đều ba đỉnh của tam giác \[ABC\] nên \[R\] là tâm đường trong ngoại tiếp tam giác\[ABC.\]
Chọn [D]
Sử dụng kết quả bài 66 trang 49 SBT toán 7 tập 2
Bài 8.3
Cho tam giác \[ABC\] có \[Â = 100°.\] Các đường trung trực của \[AB\] và \[AC\] lần lượt cắt \[BC\] ở \[E\] và \[F.\] Tính \[\widehat {{\rm{EAF}}}.\]
Phương pháp giải:
Sử dụng:
+] Tính chất tam giác cân
+] Điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đường thẳng đó.
+]Tổng ba góc trong tam giác bằng \[180^0\]
Lời giải chi tiết:
Vì \[E\] thuộc đường trung trực của đoạn thẳng \[AB\] nên \[EA = EB,\] hay tam giác \[EAB\] cân tại đỉnh \[E. \] Suy ra \[\widehat B = \widehat {{A_1}}\]
Vì \[F\] thuộc đường trung trực của đoạn thẳng \[AC\] nên \[FA = FC,\] hay tam giác \[FAC\] cân tại đỉnh \[F. \] Suy ra \[\widehat C = \widehat {{A_2}}\]. Ta có:
\[\widehat {{\rm{EAF}}} = \widehat A - \left[ {\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}}} \right] \]\[= \widehat A - \left[ {\widehat B + \widehat C} \right]\]
Mặt khác, xét tam giác \[ABC\] ta có:\[\widehat B + \widehat C+\widehat A = 180^\circ \] [tổng ba góc trong tam giác]
Suy ra: \[\widehat B + \widehat C = 180^\circ - \widehat A \]\[= 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \]
Do đó \[\widehat {{\rm{EAF}}} = 100^\circ - 80^\circ = 20^\circ \]
Bài 8.4
Cho tam giác \[ABC\] có góc \[A\] là góc tù. Các đường trung trực của \[AB; AC\] cắt nhau tại \[O\] và lần lượt cắt \[BC\] tại \[M, N.\] Chứng minh rằng \[AO\] là tia phân giác của góc \[MAN.\]
Phương pháp giải:
Sử dụng:
+] Điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đường thẳng đó.
+]Ba đường trung trực của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.
Lời giải chi tiết:
Vì \[M\] thuộc đường trung trực của đoạn thẳng \[AB\] nên \[MA = MB,\] hay tam giác \[MAB\] cân tại đỉnh \[M. \] Suy ra \[\widehat {B_1} = \widehat {{A_1}}\] [1]
Vì \[N\] thuộc đường trung trực của đoạn thẳng \[AC\] nên \[NA = NC,\] hay tam giác \[NAC\] cân tại đỉnh \[N. \] Suy ra \[\widehat {C_1} = \widehat {{A_2}}\] [2]
Ta có \[O\] là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác \[ABC\] nên \[OA = OB = OC,\] hay các tam giác \[OAB, OAC, OBC\] cân tại \[O.\]
Suy ra, theo tính chất tam giác cân thì\[\widehat {OAB} = \widehat {OBA}\] [*], \[\widehat {OAC} = \widehat {OC{\rm{A}}}\] [**], \[\widehat {OBC} = \widehat {OCB}\] [4]
Từ [1] và [*] ta có: \[\widehat {MAO} = \widehat {OAB} - \widehat {{A_1}} = \widehat {OBA} - \widehat {{B_1}} = \widehat {OBM}\]
Hay \[\widehat {MAO} = \widehat {OBM}\] [5]
Từ [2] và [**] ta có:\[\widehat {OCN} = \widehat {OCA} - \widehat {{C_1}} \]\[= \widehat {OAC} - \widehat {{A_2}} = \widehat {OAN}\]
Hay \[\widehat {OCN} = \widehat {OAN}\] [6]
Từ [4], [5] và [6] ta có: \[\widehat {OAM} = \widehat {OBC} = \widehat {OCB} = \widehat {OAN}.\]
Hay \[\widehat {OAM}= \widehat {OAN}\]
Vậy \[OA\] là tia phân giác góc \[MAN.\]